5x^2-41x+42 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Faktorisieren

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx+42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 210 ergeben.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -41 ergibt.

$$a=-35 b=-6$$

5x^{2}-41x+42 als \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -6 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

-41 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1681 zu -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -41 ist 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{41±29}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 41 zu 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividieren Sie 70 durch 10.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{41±29}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 29 von 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{6}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 7 und für x_{2} \frac{6}{5} ein.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{6}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Auswerten

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$