5x^2-33x-14=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -33x-14 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-33 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -70 ergeben.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -33 ergibt.

$$a=-35 b=2$$

5x^{2}-33x-14 als \left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(5x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und 5x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -33 und c durch -14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

-33 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+280}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1089 zu 280.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1369.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±37}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -33 ist 33.

$$x=\frac{33±37}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{33±37}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{33±37}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 33 zu 37.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividieren Sie 70 durch 10.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{33±37}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 37 von 33.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Addieren Sie 14 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-33x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Die Subtraktion von -14 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-33x=-\left(-14\right)$$

Subtrahieren Sie -14 von 0.

$$5x^{2}-33x=14$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-33x}{5}=\frac{14}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{14}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{33}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{33}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{33}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{14}{5}+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{33}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{14}{5}+\frac{1089}{100}$$

Addieren Sie \frac{14}{5} zu \frac{1089}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{1369}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{37}{10}$$

Addieren Sie \frac{33}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$