5x^2-32x=48 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-32x=48$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -32 und c durch -48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1024 zu 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Dividieren Sie 32+8\sqrt{31} durch 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{31} von 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Dividieren Sie 32-8\sqrt{31} durch 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-32x=48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{32}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{16}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{16}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{16}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Addieren Sie \frac{48}{5} zu \frac{256}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Addieren Sie \frac{16}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$