5x^2-2x+15=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -2 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4 zu -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{74} durch 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{74} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{74} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Die Subtraktion von 15 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Dividieren Sie -15 durch 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie -3 zu \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$