5x^2-2x+10=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -2x+10=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i=0,2+1,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i=0,2-1,4i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-2x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -2 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-200}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4 zu -200.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-196}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14i}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±14i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{2±14i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±14i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 14i.

$$x=\frac{2+14i}{10}$$

Dividieren Sie 2+14i durch 10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±14i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14i von 2.

$$x=\frac{2-14i}{10}$$

Dividieren Sie 2-14i durch 10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-2x+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}-2x+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-2x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dividieren Sie -10 durch 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-2$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-2+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{49}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{49}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{49}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{7}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{7}{5}i$$

Addieren Sie \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$$