5x^2-29x-42=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx-42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -210 ergeben.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -29 ergibt.

$$a=-35 b=6$$

5x^{2}-29x-42 als \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -29 und c durch -42, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 841 zu 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -29 ist 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{29±41}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 29 zu 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividieren Sie 70 durch 10.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{29±41}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 41 von 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Addieren Sie 42 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Die Subtraktion von -42 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Subtrahieren Sie -42 von 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{29}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{29}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{29}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{29}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Addieren Sie \frac{42}{5} zu \frac{841}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Addieren Sie \frac{29}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$