5x^2-25x-12=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -25x-12=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx 5,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx -0,441088234$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -25 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -12.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+240}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 625 zu 240.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -25 ist 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 25 zu \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+25}{10}$$

Dividieren Sie 25+\sqrt{865} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{865} von 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{865}}{10}$$

Dividieren Sie 25-\sqrt{865} durch 10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Addieren Sie 12 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-25x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Die Subtraktion von -12 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-25x=-\left(-12\right)$$

Subtrahieren Sie -12 von 0.

$$5x^{2}-25x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-25x}{5}=\frac{12}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{5}\right)x=\frac{12}{5}$$

Dividieren Sie -25 durch 5.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{5}$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{12}{5}+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie \frac{12}{5} zu \frac{25}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{173}{20}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$