5x^2-16x-185=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -16x-185 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{989} + 8}{5} \approx 7,889674077$$

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}\approx -4,689674077$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -16 und c durch -185, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

-16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-20\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -185.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+3700}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 256 zu 3700.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{3956}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3956.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 16 zu 2\sqrt{989}.

$$x=\frac{2\sqrt{989}+16}{10}$$

Dividieren Sie 16+2\sqrt{989} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{989} von 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{989}}{10}$$

Dividieren Sie 16-2\sqrt{989} durch 10.

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Addieren Sie 185 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-16x-185-\left(-185\right)=-\left(-185\right)$$

Die Subtraktion von -185 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-16x=-\left(-185\right)$$

Subtrahieren Sie -185 von 0.

$$5x^{2}-16x=185$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-16x}{5}=\frac{185}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=\frac{185}{5}$$

Dividieren Sie 185 durch 5.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=37$$

Dividieren Sie -\frac{16}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{8}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{8}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}=37+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{8}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=37+\frac{64}{25}$$

Addieren Sie 37 zu \frac{64}{25}.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{989}{25}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{989}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{989}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{8}{5}=\frac{\sqrt{989}}{5} x-\frac{8}{5}=-\frac{\sqrt{989}}{5}$$

Addieren Sie \frac{8}{5} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$