5x^2-10x-15=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-3 b=1$$

x^{2}-2x-3 als \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Klammern Sie x in x^{2}-3x aus.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -10 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 100 zu 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±20}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividieren Sie 30 durch 10.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±20}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividieren Sie -10 durch 10.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Dividieren Sie -10 durch 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Dividieren Sie 15 durch 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Addieren Sie 3 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-1$$