5x^2+7x=-3= lösen

$$5 { x }^{ 2 } +7x = -3 =$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,7+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}\approx -0,7-0,331662479i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=0$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$5x^{2}+7x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 7 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 3}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 49 zu -60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -11.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{11} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Dividieren Sie \frac{7}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Addieren Sie -\frac{3}{5} zu \frac{49}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{11}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

\frac{7}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$