5x^2+5x+9=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 5 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 25 zu -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Dividieren Sie -5+i\sqrt{155} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{155} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Dividieren Sie -5-i\sqrt{155} durch 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Dividieren Sie 5 durch 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -\frac{9}{5} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$