5x^2+32x+10=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 32 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 1024 zu -200.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 824.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -32 zu 2\sqrt{206}.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

Dividieren Sie -32+2\sqrt{206} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{206} von -32.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

Dividieren Sie -32-2\sqrt{206} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+32x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Dividieren Sie -10 durch 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

Dividieren Sie \frac{32}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{16}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{16}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{16}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

Addieren Sie -2 zu \frac{256}{25}.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

\frac{16}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$