5x^2+2x-6=0 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +2x-6=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5}\approx 0,913552873$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}\approx -1,313552873$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+2x-6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 2 und c durch -6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 4 zu 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{10}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{31} durch 10.

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{31} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{10}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{31} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5} x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+2x-6=0$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$5x^{2}+2x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Die Subtraktion von -6 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+2x=-\left(-6\right)$$

Subtrahieren Sie -6 von 0.

$$5x^{2}+2x=6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=\frac{6}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=\frac{6}{5}$$

Dividieren Sie \frac{2}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{6}{5}+\frac{1}{25}$$

Addieren Sie \frac{6}{5} zu \frac{1}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{31}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{31}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{31}}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{31}}{5}$$

\frac{1}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{31}-1}{5} x=\frac{-\sqrt{31}-1}{5}$$