5x^2+23x+12 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Faktorisieren

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 5x^{2}+ax+bx+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 23 ergibt.

$$a=3 b=20$$

5x^{2}+23x+12 als \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

23 zum Quadrat.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 529 zu -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-23±17}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -23 zu 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-23±17}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Dividieren Sie -40 durch 10.

$$x=-4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{3}{5} und für x_{2} -4 ein.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 5 in 5 und 5 aufheben.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Auswerten

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$