5x^2+15x=12x-13 lösen

$$5 { x }^{ 2 } +15x=12x-13$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10}\approx -0,3+1,584297952i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}\approx -0,3-1,584297952i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$5x^{2}+15x-12x=-13$$

Kombinieren Sie 15x und -12x, um 3x zu erhalten.

$$5x^{2}+3x=-13$$

Auf beiden Seiten 13 addieren.

$$5x^{2}+3x+13=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 3 und c durch 13, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\times 13}}{2\times 5}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\times 13}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\times 13}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 13.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-260}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 9 zu -260.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-251}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -251.

$$x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{251} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10} x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 12x von beiden Seiten.

$$5x^{2}+15x-12x=-13$$

Kombinieren Sie 15x und -12x, um 3x zu erhalten.

$$5x^{2}+3x=-13$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{13}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{13}{5}$$

Dividieren Sie \frac{3}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{13}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{13}{5}+\frac{9}{100}$$

Addieren Sie -\frac{13}{5} zu \frac{9}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{251}{100}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{251}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{251}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{251}i}{10}$$

\frac{3}{10} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10} x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$