5x^2=11x-2 lösen

$$5 { x }^{ 2 } = 11x-2$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 11x von beiden Seiten.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 5x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=5\times 2=10$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 10 ergeben.

$$-1,-10 -2,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-10 b=-1$$

5x^{2}-11x+2 als \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right) umschreiben.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(5x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-2=0 und 5x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 11x von beiden Seiten.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Auf beiden Seiten 2 addieren.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch -11 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\times 2}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-40}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 121 zu -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±9}{2\times 5}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±9}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{11±9}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±9}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 9.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividieren Sie 20 durch 10.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±9}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 11.

$$x=\frac{2}{10}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{10} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 11x von beiden Seiten.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}-11x}{5}=-\frac{2}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{11}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{121}{100}$$

Addieren Sie -\frac{2}{5} zu \frac{121}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=\frac{81}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{10}=\frac{9}{10} x-\frac{11}{10}=-\frac{9}{10}$$

Addieren Sie \frac{11}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$