49x^2+30x+25=0 lösen

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 49, b durch 30 und c durch 25, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

30 zum Quadrat.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -196 mit 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Addieren Sie 900 zu -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -30 zu 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Dividieren Sie -30+20i\sqrt{10} durch 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20i\sqrt{10} von -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Dividieren Sie -30-20i\sqrt{10} durch 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

25 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Die Subtraktion von 25 von sich selbst ergibt 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Division durch 49 macht die Multiplikation mit 49 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Dividieren Sie \frac{30}{49}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{15}{49} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{15}{49} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{15}{49}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Addieren Sie -\frac{25}{49} zu \frac{225}{2401}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Faktor x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

\frac{15}{49} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$