49t^2-147t-196=0 lösen

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Nach t auflösen

$$t=-1$$

$$t=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als t^{2}+at+bt-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$1,-4 2,-2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-4 b=1$$

t^{2}-3t-4 als \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right) umschreiben.

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Klammern Sie t in t^{2}-4t aus.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie t-4=0 und t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 49, b durch -147 und c durch -196, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

-147 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -196 mit -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Addieren Sie 21609 zu 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Das Gegenteil von -147 ist 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{147±245}{98}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 147 zu 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Dividieren Sie 392 durch 98.

$$t=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{147±245}{98}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 245 von 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Dividieren Sie -98 durch 98.

$$t=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=4 t=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Addieren Sie 196 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Die Subtraktion von -196 von sich selbst ergibt 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Subtrahieren Sie -196 von 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Division durch 49 macht die Multiplikation mit 49 rückgängig.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Dividieren Sie -147 durch 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Dividieren Sie 196 durch 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=4 t=-1$$