49x^2+2x-15=0 lösen

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0,533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0,574067754$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 49, b durch 2 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie -196 mit -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

Addieren Sie 4 zu 2940.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2944.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 49.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 8\sqrt{46}.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

Dividieren Sie -2+8\sqrt{46} durch 98.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{46} von -2.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

Dividieren Sie -2-8\sqrt{46} durch 98.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$49x^{2}+2x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 49.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

Division durch 49 macht die Multiplikation mit 49 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

Dividieren Sie \frac{2}{49}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{49} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{49} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{49}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

Addieren Sie \frac{15}{49} zu \frac{1}{2401}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

\frac{1}{49} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$