48x^2-52x-26=0 lösen

$$48 x ^ { 2 } - 52 x - 26 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{481} + 13}{24} \approx 1,455488008$$

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}\approx -0,372154675$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 48, b durch -52 und c durch -26, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

-52 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\times 48\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 48.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-192\left(-26\right)}}{2\times 48}$$

Multiplizieren Sie -192 mit -26.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704+4992}}{2\times 48}$$

Addieren Sie 2704 zu 4992.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{7696}}{2\times 48}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7696.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

Das Gegenteil von -52 ist 52.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{2\times 48}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 48.

$$x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 52 zu 4\sqrt{481}.

$$x=\frac{4\sqrt{481}+52}{96}$$

Dividieren Sie 52+4\sqrt{481} durch 96.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{52±4\sqrt{481}}{96}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{481} von 52.

$$x=\frac{52-4\sqrt{481}}{96}$$

Dividieren Sie 52-4\sqrt{481} durch 96.

$$x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$48x^{2}-52x-26=0$$

Addieren Sie 26 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$48x^{2}-52x-26-\left(-26\right)=-\left(-26\right)$$

Die Subtraktion von -26 von sich selbst ergibt 0.

$$48x^{2}-52x=-\left(-26\right)$$

Subtrahieren Sie -26 von 0.

$$48x^{2}-52x=26$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 48.

$$\frac{48x^{2}-52x}{48}=\frac{26}{48}$$

Division durch 48 macht die Multiplikation mit 48 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{52}{48}\right)x=\frac{26}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-52}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{26}{48}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{26}{48} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x=\frac{13}{24}$$

Dividieren Sie -\frac{13}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{13}{24}+\left(-\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{13}{24}+\frac{169}{576}$$

Addieren Sie \frac{13}{24} zu \frac{169}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{481}{576}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{481}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{481}{576}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{24}=\frac{\sqrt{481}}{24} x-\frac{13}{24}=-\frac{\sqrt{481}}{24}$$

Addieren Sie \frac{13}{24} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{481}+13}{24} x=\frac{13-\sqrt{481}}{24}$$