42x^2-5x-3=0 lösen

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 42x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -126 ergeben.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 als \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) umschreiben.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Klammern Sie 14x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-1=0 und 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 42, b durch -5 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie -168 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Addieren Sie 25 zu 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±23}{84}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{28}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 28 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±23}{84}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Division durch 42 macht die Multiplikation mit 42 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{42}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{84} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{84} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{84}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Addieren Sie \frac{1}{14} zu \frac{25}{7056}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Addieren Sie \frac{5}{84} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$