42x^2+13x-35=0 lösen

$$42 x ^ { 2 } + 13 x - 35 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84}\approx 0,771134731$$

$$x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}\approx -1,080658541$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$42x^{2}+13x-35=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 42, b durch 13 und c durch -35, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 42\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 42\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 42.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-168\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie -168 mit -35.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+5880}}{2\times 42}$$

Addieren Sie 169 zu 5880.

$$x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 42.

$$x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu \sqrt{6049}.

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{6049} von -13.

$$x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84} x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$42x^{2}+13x-35=0$$

Addieren Sie 35 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$42x^{2}+13x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Die Subtraktion von -35 von sich selbst ergibt 0.

$$42x^{2}+13x=-\left(-35\right)$$

Subtrahieren Sie -35 von 0.

$$42x^{2}+13x=35$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 42.

$$\frac{42x^{2}+13x}{42}=\frac{35}{42}$$

Division durch 42 macht die Multiplikation mit 42 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x=\frac{35}{42}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{35}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 7 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x=\frac{5}{6}$$

Dividieren Sie \frac{13}{42}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{13}{84} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{13}{84} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\left(\frac{13}{84}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{13}{84}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{13}{84}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}=\frac{5}{6}+\frac{169}{7056}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu \frac{169}{7056}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}=\frac{6049}{7056}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{13}{84}\right)^{2}=\frac{6049}{7056}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6049}{7056}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{13}{84}=\frac{\sqrt{6049}}{84} x+\frac{13}{84}=-\frac{\sqrt{6049}}{84}$$

\frac{13}{84} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84} x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$