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42t^{2}-91t+42=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{\left(-91\right)^{2}-4\times 42\times 42}}{2\times 42}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 42, b durch -91 und c durch 42, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-4\times 42\times 42}}{2\times 42}
-91 zum Quadrat.
t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-168\times 42}}{2\times 42}
Multiplizieren Sie -4 mit 42.
t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-7056}}{2\times 42}
Multiplizieren Sie -168 mit 42.
t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{1225}}{2\times 42}
Addieren Sie 8281 zu -7056.
t=\frac{-\left(-91\right)±35}{2\times 42}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1225.
t=\frac{91±35}{2\times 42}
Das Gegenteil von -91 ist 91.
t=\frac{91±35}{84}
Multiplizieren Sie 2 mit 42.
t=\frac{126}{84}
Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{91±35}{84}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 91 zu 35.
t=\frac{3}{2}
Verringern Sie den Bruch \frac{126}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 42 extrahieren und aufheben.
t=\frac{56}{84}
Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{91±35}{84}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 35 von 91.
t=\frac{2}{3}
Verringern Sie den Bruch \frac{56}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 28 extrahieren und aufheben.
t=\frac{3}{2} t=\frac{2}{3}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
42t^{2}-91t+42=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
42t^{2}-91t+42-42=-42
42 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
42t^{2}-91t=-42
Die Subtraktion von 42 von sich selbst ergibt 0.
\frac{42t^{2}-91t}{42}=-\frac{42}{42}
Dividieren Sie beide Seiten durch 42.
t^{2}+\left(-\frac{91}{42}\right)t=-\frac{42}{42}
Division durch 42 macht die Multiplikation mit 42 rückgängig.
t^{2}-\frac{13}{6}t=-\frac{42}{42}
Verringern Sie den Bruch \frac{-91}{42} um den niedrigsten Term, indem Sie 7 extrahieren und aufheben.
t^{2}-\frac{13}{6}t=-1
Dividieren Sie -42 durch 42.
t^{2}-\frac{13}{6}t+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{13}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}=-1+\frac{169}{144}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}=\frac{25}{144}
Addieren Sie -1 zu \frac{169}{144}.
\left(t-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}
Faktor t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(t-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
t-\frac{13}{12}=\frac{5}{12} t-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}
Vereinfachen.
t=\frac{3}{2} t=\frac{2}{3}
Addieren Sie \frac{13}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.