42m^2-89m-21 lösen

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

Faktorisieren

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 42m^{2}+am+bm-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -882 ergeben.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -89 ergibt.

$$a=-98 b=9$$

42m^{2}-89m-21 als \left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right) umschreiben.

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

Klammern Sie 14m in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3m-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

-89 zum Quadrat.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie -168 mit -21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

Addieren Sie 7921 zu 3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

Das Gegenteil von -89 ist 89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{89±107}{84}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 89 zu 107.

$$m=\frac{196}{84}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{196}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 28 extrahieren und aufheben.

$$m=\frac{7}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{89±107}{84}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 107 von 89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{84} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$m=-\frac{3}{14}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{7}{3} und für x_{2} -\frac{3}{14} ein.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{3} von m, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{14} zu m, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

Multiplizieren Sie \frac{3m-7}{3} mit \frac{14m+3}{14}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 42 in 42 und 42 aufheben.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Auswerten

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$