40y^2-10y-15 lösen

$$40 y ^ { 2 } - 10 y - 15$$

Faktorisieren

$$5\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(8y^{2}-2y-3\right)$$

Betrachten Sie 8y^{2}-2y-3. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 8y^{2}+ay+by-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -2 ergibt.

$$a=-6 b=4$$

8y^{2}-2y-3 als \left(8y^{2}-6y\right)+\left(4y-3\right) umschreiben.

$$\left(8y^{2}-6y\right)+\left(4y-3\right)$$

Klammern Sie 2y in 8y^{2}-6y aus.

$$2y\left(4y-3\right)+4y-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4y-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$40y^{2}-10y-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 40\left(-15\right)}}{2\times 40}$$

-10 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 40\left(-15\right)}}{2\times 40}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 40.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-160\left(-15\right)}}{2\times 40}$$

Multiplizieren Sie -160 mit -15.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 40}$$

Addieren Sie 100 zu 2400.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 40}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2500.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 40}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$y=\frac{10±50}{2\times 40}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 40.

$$y=\frac{10±50}{80}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{10±50}{80}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 50.

$$y=\frac{60}{80}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{60}{80} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{10±50}{80}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 50 von 10.

$$y=-\frac{40}{80}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{80} um den niedrigsten Term, indem Sie 40 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{1}{2} ein.

$$40y^{2}-10y-15=40\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$40y^{2}-10y-15=40\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{4y-3}{4}\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{4y-3}{4}\times \frac{2y+1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{4y-3}{4} mit \frac{2y+1}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)}{4\times 2}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 2.

$$40y^{2}-10y-15=40\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)}{8}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in 40 und 8 aufheben.

$$40y^{2}-10y-15=5\left(4y-3\right)\left(2y+1\right)$$

Auswerten

$$40y^{2}-10y-15$$