4z^2+4z-3 lösen

$$4 z ^ { 2 } + 4 z - 3$$

Faktorisieren

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4z^{2}+az+bz-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-2 b=6$$

4z^{2}+4z-3 als \left(4z^{2}-2z\right)+\left(6z-3\right) umschreiben.

$$\left(4z^{2}-2z\right)+\left(6z-3\right)$$

Klammern Sie 2z in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2z\left(2z-1\right)+3\left(2z-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2z-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4z^{2}+4z-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

4 zum Quadrat.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -3.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu 48.

$$z=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 64.

$$z=\frac{-4±8}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$z=\frac{-4±8}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-4±8}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 8.

$$z=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$z=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-4±8}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8 von -4.

$$z=-\frac{12}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$4z^{2}+4z-3=4\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$4z^{2}+4z-3=4\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{2z-1}{2}\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{2z-1}{2}\times \frac{2z+3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2z-1}{2} mit \frac{2z+3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4z^{2}+4z-3=\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Auswerten

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$