4y^2-9y+2=0 lösen

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4y^{2}+ay+by+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$-1,-8 -2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-8 b=-1$$

4y^{2}-9y+2 als \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right) umschreiben.

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Klammern Sie 4y in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-2=0 und 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -9 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-9 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 81 zu -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{9±7}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Dividieren Sie 16 durch 8.

$$y=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{9±7}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{81}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktor y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Addieren Sie \frac{9}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$