4y^2-7y+1=0 lösen

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Nach y auflösen

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -7 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-7 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{33} von 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Addieren Sie -\frac{1}{4} zu \frac{49}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Faktor y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Addieren Sie \frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$