4y^2-24y+27 lösen

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Faktorisieren

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4y^{2}+ay+by+27 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 108 ergeben.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -24 ergibt.

$$a=-18 b=-6$$

4y^{2}-24y+27 als \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right) umschreiben.

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Klammern Sie 2y in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2y-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

-24 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 576 zu -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{24±12}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 24 zu 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{36}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{24±12}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{9}{2} und für x_{2} \frac{3}{2} ein.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{9}{2} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2y-9}{2} mit \frac{2y-3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 4 und 4 aufheben.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Auswerten

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$