4y^2+39y+170=0 lösen

$$4 y ^ { 2 } + 39 y + 170 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{-39+\sqrt{1199}i}{8}\approx -4,875+4,328322423i$$

$$y=\frac{-\sqrt{1199}i-39}{8}\approx -4,875-4,328322423i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4y^{2}+39y+170=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 39 und c durch 170, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 4\times 170}}{2\times 4}$$

39 zum Quadrat.

$$y=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 4\times 170}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$y=\frac{-39±\sqrt{1521-16\times 170}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 170.

$$y=\frac{-39±\sqrt{1521-2720}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 1521 zu -2720.

$$y=\frac{-39±\sqrt{-1199}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -1199.

$$y=\frac{-39±\sqrt{1199}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$y=\frac{-39±\sqrt{1199}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-39±\sqrt{1199}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -39 zu i\sqrt{1199}.

$$y=\frac{-39+\sqrt{1199}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-39±\sqrt{1199}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{1199} von -39.

$$y=\frac{-\sqrt{1199}i-39}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{-39+\sqrt{1199}i}{8} y=\frac{-\sqrt{1199}i-39}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4y^{2}+39y+170=0$$

170 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4y^{2}+39y+170-170=-170$$

Die Subtraktion von 170 von sich selbst ergibt 0.

$$4y^{2}+39y=-170$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4y^{2}+39y}{4}=-\frac{170}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{39}{4}y=-\frac{170}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-170}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y^{2}+\frac{39}{4}y=-\frac{85}{2}$$

Dividieren Sie \frac{39}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{39}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{39}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{39}{4}y+\left(\frac{39}{8}\right)^{2}=-\frac{85}{2}+\left(\frac{39}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{39}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{39}{4}y+\frac{1521}{64}=-\frac{85}{2}+\frac{1521}{64}$$

Addieren Sie -\frac{85}{2} zu \frac{1521}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+\frac{39}{4}y+\frac{1521}{64}=-\frac{1199}{64}$$

Faktor y^{2}+\frac{39}{4}y+\frac{1521}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{39}{8}\right)^{2}=-\frac{1199}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{39}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1199}{64}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{39}{8}=\frac{\sqrt{1199}i}{8} y+\frac{39}{8}=-\frac{\sqrt{1199}i}{8}$$

\frac{39}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{-39+\sqrt{1199}i}{8} y=\frac{-\sqrt{1199}i-39}{8}$$