4y+3/2y^2-1=0 lösen

$$4 y + \frac { 3 } { 2 } y ^ { 2 } - 1 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{\sqrt{22}-4}{3}\approx 0,230138587$$

$$y=\frac{-\sqrt{22}-4}{3}\approx -2,896805253$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$\frac{3}{2}y^{2}+4y-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch \frac{3}{2}, b durch 4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times \frac{3}{2}\left(-1\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

4 zum Quadrat.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\times \frac{3}{2}\left(-1\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{3}{2}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-6\left(-1\right)}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplizieren Sie -6 mit -1.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+6}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Addieren Sie 16 zu 6.

$$y=\frac{-4±\sqrt{22}}{2\times \frac{3}{2}}$$

Multiplizieren Sie 2 mit \frac{3}{2}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{22}}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-4±\sqrt{22}}{3}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu \sqrt{22}.

$$y=\frac{\sqrt{22}-4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-4±\sqrt{22}}{3}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{22} von -4.

$$y=\frac{-\sqrt{22}-4}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{22}-4}{3} y=\frac{-\sqrt{22}-4}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$\frac{3}{2}y^{2}+4y-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$\frac{3}{2}y^{2}+4y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$\frac{3}{2}y^{2}+4y=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$\frac{3}{2}y^{2}+4y=1$$

Beide Seiten der Gleichung durch \frac{3}{2} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$\frac{\frac{3}{2}y^{2}+4y}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}$$

Division durch \frac{3}{2} macht die Multiplikation mit \frac{3}{2} rückgängig.

$$y^{2}+\frac{4}{\frac{3}{2}}y=\frac{1}{\frac{3}{2}}$$

Dividieren Sie 4 durch \frac{3}{2}, indem Sie 4 mit dem Kehrwert von \frac{3}{2} multiplizieren.

$$y^{2}+\frac{8}{3}y=\frac{1}{\frac{3}{2}}$$

Dividieren Sie 1 durch \frac{3}{2}, indem Sie 1 mit dem Kehrwert von \frac{3}{2} multiplizieren.

$$y^{2}+\frac{8}{3}y=\frac{2}{3}$$

Dividieren Sie \frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{8}{3}y+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{9}=\frac{2}{3}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{9}=\frac{22}{9}$$

Faktor y^{2}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{22}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{9}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{22}}{3} y+\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{22}}{3}$$

\frac{4}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{\sqrt{22}-4}{3} y=\frac{-\sqrt{22}-4}{3}$$