4x-y=5text{and}5y-4x=7 lösen

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Nach x, y auflösen

$$x=2$$

$$y=3$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$4x-y=5$$

Addieren Sie y zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x=y+5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{4} mit y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{5+y}{4} in der anderen Gleichung, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Multiplizieren Sie -4 mit \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Addieren Sie -y zu 5y.

$$4y-5=7$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4y=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$y=3$$

Ersetzen Sie in x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} y durch 3. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{4} mit 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu \frac{3}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=2$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=2,y=3$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.

$$x=2,y=3$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Um 4x und -4x gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit -4 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Vereinfachen.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Subtrahieren Sie -16x+20y=28 von -16x+4y=-20, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Addieren Sie -16x zu 16x. Die Terme -16x und 16x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$4y-20y=-20-28$$

Addieren Sie 4y zu -20y.

$$-16y=-20-28$$

Addieren Sie -20 zu -28.

$$-16y=-48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -16.

$$y=3$$

Ersetzen Sie in -4x+5y=7 y durch 3. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$-4x+5\times 3=7$$

Multiplizieren Sie 5 mit 3.

$$-4x+15=7$$

15 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-4x=-8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -4.

$$x=2$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=2,y=3$$