4x-3y=2text{and}x+5y=-11 lösen

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Nach x, y auflösen

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Schritte unter Verwendung von Ersetzung

Um ein Gleichungspaar mithilfe von Ersetzung zu lösen, lösen Sie zuerst eine der Gleichungen für eine der Variablen. Setzen Sie anschließend das Ergebnis für die betreffende Variable in der anderen Gleichung ein.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Wählen Sie eine der Gleichungen aus, und lösen Sie sie für x, indem Sie x auf der linken Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

$$4x-3y=2$$

Addieren Sie 3y zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x=3y+2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Multiplizieren Sie \frac{1}{4} mit 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ersetzen Sie x durch \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} in der anderen Gleichung, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Addieren Sie \frac{3y}{4} zu 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Beide Seiten der Gleichung durch \frac{23}{4} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$y=-2$$

Ersetzen Sie in x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2} y durch -2. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{3}{4} mit -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu -\frac{3}{2}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=-1$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=-1,y=-2$$

Schritte unter Verwendung von Matrizen

Bringen Sie die Gleichungen in die Standardform, und verwenden Sie dann Matrizen, um das Gleichungssystem zu lösen.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Schreiben Sie die Gleichungen in Matrizenform.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Die linke Seite der Gleichung mit der Umkehrmatrix von \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right) multiplizieren.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Das Produkt einer Matrix und ihrer Umkehrmatrix ergibt die Identitätsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Die Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens multiplizieren.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Für die 2\times 2-Matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ist die Umkehrmatrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), sodass die Matrixgleichung als ein Matrixmultiplikationsproblem umgeschrieben werden kann.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplizieren Sie die Matrizen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Führen Sie die Berechnung aus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahieren Sie die Matrixelemente x und y.

$$x=-1,y=-2$$

Schritte unter Verwendung von Elimination

Um für die Lösung Elimination verwenden zu können, müssen die Koeffizienten einer der Variablen in beiden Gleichungen gleich sein, sodass sich die Variablen beim Subtrahieren einer Gleichung von der anderen gegenseitig aufheben.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Um 4x und x gleich zu machen, multiplizieren Sie alle Terme auf jeder Seite der ersten Gleichung mit 1 und alle Terme auf jeder Seite der zweiten Gleichung mit 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Vereinfachen.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Subtrahieren Sie 4x+20y=-44 von 4x-3y=2, indem Sie ähnliche Terme auf jeder Seite des Gleichheitszeichens subtrahieren.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Addieren Sie 4x zu -4x. Die Terme 4x und -4x heben sich gegenseitig auf und lassen eine Gleichung mit nur einer Variablen zurück, die gelöst werden kann.

$$-3y-20y=2+44$$

Addieren Sie -3y zu -20y.

$$-23y=2+44$$

Addieren Sie 2 zu 44.

$$-23y=46$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -23.

$$y=-2$$

Ersetzen Sie in x+5y=-11 y durch -2. Da die sich ergebende Gleichung nur eine Variable enthält, können Sie direkt für x auflösen.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Multiplizieren Sie 5 mit -2.

$$x-10=-11$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=-1$$

Das System ist jetzt gelöst.

$$x=-1,y=-2$$