4x-2x^2=7 lösen

$$4 x - 2 x ^ { 2 } = 7$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1-1,58113883i$$

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1\approx 1+1,58113883i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-2x^{2}+4x=7$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-2x^{2}+4x-7=7-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$-2x^{2}+4x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 4 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\left(-7\right)}}{2\left(-2\right)}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\left(-7\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\left(-7\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-56}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 16 zu -56.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-40}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -40.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{10}i}{-4}$$

Dividieren Sie -4+2i\sqrt{10} durch -4.

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{10}i}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{10} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}i-4}{-4}$$

Dividieren Sie -4-2i\sqrt{10} durch -4.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-2x^{2}+4x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=\frac{7}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=\frac{7}{-2}$$

Dividieren Sie 4 durch -2.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{-2}$$

Dividieren Sie 7 durch -2.

$$x^{2}-2x=-\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{7}{2}+1$$

Addieren Sie -\frac{7}{2} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{5}{2}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{\sqrt{10}i}{2} x-1=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{10}i}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{10}i}{2}+1$$