4x^2-x-5=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-5 b=4$$

4x^{2}-x-5 als \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Klammern Sie x in 4x^{2}-5x aus.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-5=0 und x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -1 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 1 zu 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±9}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±9}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$