4x^2-9x-9=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-12 b=3$$

4x^{2}-9x-9 als \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -9 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 81 zu 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±15}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie 24 durch 8.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±15}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu \frac{81}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Addieren Sie \frac{9}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$