4x^2-8x+3=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=4\times 3=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-6 b=-2$$

4x^{2}-8x+3 als \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-2x+3\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und 2x-1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -8 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 64 zu -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±4}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{8±4}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±4}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±4}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 8.

$$x=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-8x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-8x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-8x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie -8 durch 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{3}{4}+1$$

Addieren Sie -\frac{3}{4} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{1}{2} x-1=-\frac{1}{2}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{1}{2}$$