4x^2-8x+16=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 16 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -8 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-256}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 64 zu -256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-192}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 8i\sqrt{3}.

$$x=\frac{8+8\sqrt{3}i}{8}$$

Dividieren Sie 8+8i\sqrt{3} durch 8.

$$x=1+\sqrt{3}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{3} von 8.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i+8}{8}$$

Dividieren Sie 8-8i\sqrt{3} durch 8.

$$x=-\sqrt{3}i+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-8x+16-16=-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-8x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -8 durch 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x^{2}-2x=-4$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-4+1$$

Addieren Sie -4 zu 1.

$$x^{2}-2x+1=-3$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=-3$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\sqrt{3}i x-1=-\sqrt{3}i$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$