4x^2-7x+3=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-4 b=-3$$

4x^{2}-7x+3 als \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -7 und c durch 3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±1}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±1}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Addieren Sie -\frac{3}{4} zu \frac{49}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Addieren Sie \frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$