4x^2-4x+1=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 4 ergeben.

$$-1,-4 -2,-2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-2 b=-2$$

4x^{2}-4x+1 als \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 16 zu -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Addieren Sie -\frac{1}{4} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=\frac{1}{2}$$