4x^2-2x+9=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -2 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 4 zu -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{35} durch 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{35} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{35} durch 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie -\frac{9}{4} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$