4x^2-18x+5=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -18 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

-18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 324 zu -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -18 ist 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 18 zu 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Dividieren Sie 18+2\sqrt{61} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{61} von 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Dividieren Sie 18-2\sqrt{61} durch 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie -\frac{5}{4} zu \frac{81}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$