4x^2-14x=9 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-14x=9$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -14 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 196 zu 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Dividieren Sie 14+2\sqrt{85} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{85} von 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Dividieren Sie 14-2\sqrt{85} durch 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-14x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu \frac{49}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Addieren Sie \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$