4x^2-12x-27=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx-27 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -108 ergeben.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -12 ergibt.

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27 als \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-9=0 und 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -12 und c durch -27, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 144 zu 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±24}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{36}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±24}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 24 von 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Addieren Sie 27 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Die Subtraktion von -27 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Subtrahieren Sie -27 von 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Dividieren Sie -12 durch 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Addieren Sie \frac{27}{4} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$