4x^2-11x+30=16 lösen

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -11 und c durch 14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 121 zu -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{103} von 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

30 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Die Subtraktion von 30 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Subtrahieren Sie 30 von 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{11}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Addieren Sie -\frac{7}{2} zu \frac{121}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Addieren Sie \frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$