Nach x auflösen (komplexe Lösung)
x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i
x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i
Diagramm
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4x^{2}-11x+30=16
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
4x^{2}-11x+30-16=16-16
16 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
4x^{2}-11x+30-16=0
Die Subtraktion von 16 von sich selbst ergibt 0.
4x^{2}-11x+14=0
Subtrahieren Sie 16 von 30.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -11 und c durch 14, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}
-11 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -4 mit 4.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}
Multiplizieren Sie -16 mit 14.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}
Addieren Sie 121 zu -224.
x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -103.
x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}
Das Gegenteil von -11 ist 11.
x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}
Multiplizieren Sie 2 mit 4.
x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu i\sqrt{103}.
x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{103} von 11.
x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
4x^{2}-11x+30=16
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
4x^{2}-11x+30-30=16-30
30 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
4x^{2}-11x=16-30
Die Subtraktion von 30 von sich selbst ergibt 0.
4x^{2}-11x=-14
Subtrahieren Sie 30 von 16.
\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}
Dividieren Sie beide Seiten durch 4.
x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}
Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.
x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}
Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.
x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{11}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}
Addieren Sie -\frac{7}{2} zu \frac{121}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}
Faktor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}
Vereinfachen.
x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}
Addieren Sie \frac{11}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}