4x^2+8x-45<0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 8 und c durch -45.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{-8±28}{8}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\frac{5}{2} und x+\frac{9}{2} gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{5}{2} positiv und x+\frac{9}{2} negativ ist.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x+\frac{9}{2} positiv und x-\frac{5}{2} negativ ist.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$