4x^2+7x-3=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 7 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{8}\approx 0,356107225$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{8}\approx -2,106107225$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+7x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 7 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+48}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu 48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{97}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{97}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{97}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{97}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{97} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{97}-7}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+7x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$4x^{2}+7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+7x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$4x^{2}+7x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{3}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dividieren Sie \frac{7}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu \frac{49}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{97}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{97}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{97}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{97}}{8}$$

\frac{7}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{97}-7}{8}$$