4x^2+7x=1 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0,132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1,882782219$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+7x=1$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+7x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 7 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu 16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{65} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+7x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie \frac{7}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu \frac{49}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

\frac{7}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$