4x^2+7x+33=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 7 x + 33 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}\approx -0,875+2,735758579i$$

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}\approx -0,875-2,735758579i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+7x+33=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 7 und c durch 33, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 33}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 33.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-528}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 49 zu -528.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-479}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -479.

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu i\sqrt{479}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{479} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+7x+33=0$$

33 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+7x+33-33=-33$$

Die Subtraktion von 33 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+7x=-33$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=-\frac{33}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{33}{4}$$

Dividieren Sie \frac{7}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{33}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{33}{4}+\frac{49}{64}$$

Addieren Sie -\frac{33}{4} zu \frac{49}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{479}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{479}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{479}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{479}i}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{479}i}{8}$$

\frac{7}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$