4x^2+6x+1=0 lösen

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 6 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 36 zu -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{5} durch 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{5} durch 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie \frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie -\frac{1}{4} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

\frac{3}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$